3. 카오스란 무엇인가?

예를 들면 각종식물의 잎사귀 모양, 동물들의 분포 수 및 외모와 털 모양, 해안선의 모양, 날씨변화, 주식가격의 변동, 부자가 3대 못가는 이유, 원유가격이 그렇게 크게 오른 이유 등 수많은 현상들은 모두 비선형 체제 내의 것들이며 이들에 관하여는 전통적인 학문에서 다루기 어려운 것으로 이에 혼돈현상의 이론을 적용하여 새로이 해석해보려는 견지에서 카오스 이론이 탄생한 것이다.

카오스 이론은 1950년대 공학 분야에서 발견된 것으로 1970년대 후반 로버트 메이의 연구가 실마리가 되었으며 수치해석법과도 많은 관계가 있다.

자연 현상의 대부분은 혼돈 즉 카오스적이다. 물론 자연 속에는 밤과 낮, 사계절의 존재, 진자의 운동, 심장박동 등과 같은 규칙운동의 예도 수없이 많다.

반면 기상변화라든지, 지질활동, 증시 및 주가 변동과 같은 예측하기 어려운 불규칙한 카오스 현상도 수없이 많다.

이러한 카오스 운동의 특징은 일정한 주기적인 패턴이 관측되지 않고 무작위적인 것처럼 보이며 복잡성이 오랜 시간 지속된다는 점이다.

그런데도 이 현상 속에는 주기운동과 유사한 운동법칙에 따라 현상이 재현되므로 카오스도 뉴턴의 운동 법칙을 따른다는 매우 중요한 의미를 갖고 있음을 알았다.

그러므로 혼돈 속에서 혼돈을 일으키는 어떤 질서를 찾을 수 있음을 의미하므로 체계적인 연구의 대상이 될 수 있는 것이다.

그러나 문제는 양파껍질과 같이 혼돈 속에서도 또 비선형성이 존재하므로 일정영역에 잘 맞는 카오스적 운동 법칙을 알아냈다 해도 전체적으로 완벽하게 결과를 예측하기는 실로 불가능하다.

4. 카오스에서 프랙탈로

예로서 로렌츠의 기상(氣象)모델에서처럼 소위 나비효과(초기의 미세한 원인이 시간이 지남에 따라 변화되어 매우 크게 증폭되는 현상 : 북경에 있는 나비의 날갯짓이 뉴욕에 폭풍이 일게 될 수 있다는 의미) 때문에 카오스의 장기적 예측은 불가능하다.

그러나 카오스이론은 단기적인 현상의 예측은 맞는 확률이 높은 것으로 알려져 있다. 이렇듯 카오스적 운동은 난기류 현상, 담배연기의 퍼짐, 커피 잔에 크림을 넣었을 때와 같은 퍼짐현상, 피드백을 수도 없이 반복하는 뇌와 생체조직 및 각 기관과의 유기적 활동 등 많은 실례를 카오스와 연관하여 생각해 볼 수 있다.

프랙탈(fractal)이란 용어는 만델브로트(B. Mandelbrot)가 만든 것으로 프랙션(fraction=분수)에서 유래하였으며 라틴어의 fractus에서 따온 말로 영어의 broken에 해당하는 형용사이고 “깨짐”, “쪼개짐”, “조각난”이란 뜻이다.

앞서 카오스 이론에서 설명한 바와 같이 자연속의 현상 즉 해안선의 모양이나 각종 낙엽의 모양, 강의 형상 등을 시뮬레이트하기 위한 하나의 수학적 이상화로서 카오스를 그림으로 표현한 프랙탈이라는 개념을 제안하였다.

이 프랙탈이라는 도형의 특성은 자기상사 또는 자기 유사성(self similarity)에 있다. 즉 어떤 도형의 부분이 전체 도형의 축소된 모양과 같은 특성을 가짐을 의미한다.

마치 크기가 다른 똑같은 모양의 바구니가 여러 개 거듭 겹쳐져 들어 있는 형상이다. 이러한 현상은 자연 속에서도 쉽게 발견된다.

예를 들어 나무의 한 가지는 전체 나무와 유사한 모양이고, 작은 나뭇가지를 나무 전체의 크기로 확대시키면 실제 나무와 유사한 모양이다. 원자 모양을 보면 핵 주위에 전자가 돌고 있듯이 거대한 우주 및 은하계를 이루는 별들의 모양도 최소 단위의 원자 모양과 유사하다. 

또 산의 모양, 해안선의 모양도 축소하면 조그마한 산이나 해수욕장 모양과 별 다른 것이 없다. 이렇게 자연계에 존재하는 각종 생, 무생물의 형상이 프랙탈 사이에 존재하는 기본 특성과 많은 연관성이 있음을 알 수 있다.

프랙탈에 관해서는 19세기 후반과 20세기 초반의 칸토어(Cantor), 힐버트(Hilbert), 코흐(Koch), 시어핀스키(Sierpinski), 하우스돌프(Hausdorft) 및 다카기(高木貞治)등의 학자들의 연구가 있었으며, 자연을 기술하는 새로운 기하학의 도구로서 그 중요성을 새롭게 인식하게 된 계기는 만델브로트에서 부터 기인한다.(계속)